Un académico singular

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Mario Marotti

DURANTE LA DÉCADA del setenta se popularizó en la enseñanza de la matemática una didáctica que desterraba el álgebra y la geometría tradicionales sustituyéndolas por nociones bastante más abstractas; se usaba un sinnúmero de flechitas y grafos y los textos eran impresos con una gran cantidad de colores. Todo curso se estructuraba a partir de un único punto de partida: la teoría de conjuntos. En Argentina y Uruguay fue a través del libro Matemática moderna del belga Georges Papy (Eudeba, 1970) que se conoció esa forma de enseñar.

Esa visión estructurada de la matemática procedía de Francia, básicamente de la obra de Nicolas Bourbaki. Su monumental tratado Éléments de mathématique (el singular no es casual) influyó decisivamente en la evolución de la disciplina. Lo extraordinario es que Nicolas Bourbaki jamás existió. Es el seudónimo con el que un colectivo de matemáticos franceses (durante años secreto) encaró, a partir de 1935, el proyecto de revisar los fundamentos de esa ciencia con el fin de dotar a sus contenidos de mayor rigor.

Existía un antecedente: en el siglo III a.C., Euclides de Alejandría había llevado a cabo un proyecto similar; los Elementos de Euclides fueron el texto con que se enseñó geometría por más de dos milenios. Ya desde el título, Bourbaki parecía querer emular el trabajo del matemático griego, tarea que, por su magnitud, se veía como imposible. El siglo XIX había sido prodigioso en matemáticas: geometrías no euclidianas, teoría de "grupos", aritmética de números transfinitos. Nuevas ramas surgían a cada momento. Para 1900, el francés Henri Poincaré (1854-1912) y el alemán David Hilbert (1861-1943) aparentaban ser, definitivamente, los últimos matemáticos capaces de abarcarlas todas.

Rebeldes con causa. La Primera Guerra Mundial había dejado a la matemática francesa notablemente relegada con respecto a otros avances, en particular el alemán. Durante el conflicto, Francia no exoneró a sus jóvenes universitarios de ir al frente, con la consecuente pérdida de una o dos generaciones. Para 1930, sus matemáticos activos, Borel, Hadamard, Picard, Lebesgue (la generación de Poincaré), ya eran hombres mayores. Si se exceptúa a Élie Cartan, no había ningún otro especialista en temas nuevos como "grupos de Lie" o "teoría espectral".

Simultáneamente, una promoción de inquietos jóvenes había ido alcanzando posiciones académicas en distintas universidades. Nacidos entre 1903 y 1909, Henri Cartan (hijo de Élie), André Weil (hermano de la filósofa Simone Weil), Jean Dieudonné, Claude Chevalley, Jean Delsarte, René de Possel y Charles Ehresmann, ya se conocían de la École Normale Supérieure de París. En la Universidad de Estrasburgo, Cartan y Weil no estaban conformes con la forma como se dictaba el curso de análisis. Al retornar a clases después del verano de 1934, Weil le propuso a su amigo escribir un texto nuevo que reemplazara al de Edouard Goursat de 1902 al cual ambos consideraban carente de rigor: "Somos cinco o seis amigos, encargados del mismo curso en distintas universidades. Reunámonos y arreglemos esto de una vez". Sin saberlo, estaban dando el puntapié inicial de una de las mayores proezas intelectuales del siglo.

Un mediodía se reunieron en el café Capoulade sobre el bulevar Saint-Michel de París para distribuir el trabajo. Al no lograr avances, decidieron recluirse a trabajar durante dos semanas del verano de 1935 en Besse-en-Chandesse, una pequeña villa cercana a Clermont-Ferrand; allí comenzaron a vislumbrar la posibilidad de redactar una obra enciclopédica de carácter más general.

Decidieron escribirla bajo un nombre ficticio: N. Bourbaki (el alias les daba libertad y los ponía a salvo de las críticas). Para divertirse, hicieron circular cartas e historias falsas sobre el supuesto autor. Al tanto de esas travesuras, Élie Cartan colaboró con la farsa y envió a la Academia una nota acompañada de un pequeño bosquejo biográfico del autor atribuyéndole un origen "poldavo". Poldavia (recuérdese la casi contemporánea Sildavia de las historias de Tintín) tenía su origen en antiguas chanzas de la École.

El secreto de la identidad de los autores duró años; nadie sabía quién era exactamente Bourbaki. Mucho tiempo después, en su autobiografía, André Weil develó el origen del nombre. En 1923, a los novatos de la École se los obligó a asistir (típica broma de bienvenida) a la conferencia de un supuesto académico invitado. El falso profesor desarrolló un estrambótico razonamiento que remató con la demostración de un teorema de un tal Bourbaki. El bromista tomó el apellido de un oficial del ejército francés que en 1871, durante la guerra franco-prusiana, había sufrido una humillante derrota. Recordando la broma, Weil propuso a Bourbaki como autor del tratado. El nombre de pila lo eligió Éveline, su futura esposa.

Un secreto "Club de Tobi". La forma de encarar el trabajo también fue singular. Para cada tema, algún miembro del grupo preparaba un borrador que en la siguiente reunión, con gran probabilidad de terminar en la papelera, era criticado con dureza. El proceso se repetía hasta alcanzar la unanimidad, regla de oro del grupo. Como dijo Weil, "se necesitaba un gran acto de fe para pensar que ese proceso iba a converger". A pesar de ese escepticismo, en 1939 se publicó el primer volumen de Éléments de mathématique. Muchos otros seguirían (más de 7000 páginas al día de hoy). Las notas históricas al final de cada capítulo serían luego publicadas en forma independiente como Elementos de Historia de las Matemáticas (existe edición española de Alianza).

La abstracción, el rigor y, fundamentalmente, la incorporación de una nueva terminología y notación caracterizan a la obra; esa última es sin duda, su mayor virtud. Algunos símbolos usados hoy en las clases de matemáticas de todos los niveles (como el del conjunto vacío) o las palabras inyectiva y sobreyectiva para referirse a cierto tipo de funciones, provienen de allí. Sosteniendo que la intuición geométrica no es fiable, los libros casi no contienen figuras; la geometría, cuando aparece, lo hace en una forma totalmente algebraica. Ese estilo, austero, monótono, sin concesiones, provenía siempre de la pluma de Jean Dieudonné, amanuense y más tarde vocero del colectivo.

Axiomas y teoremas. Tradicionalmente las matemáticas habían abarcado un conjunto variado de disciplinas agrupadas según el tipo de objetos que estudiaban (geometría, álgebra, análisis), pero ya desde mediados del siglo XIX se había comenzado a ver que lo importante no era el carácter de esos objetos sino el tipo de relaciones entre ellos. Bourbaki intentó la construcción de un corpus único de conocimientos sobre un mínimo fundamento común. Su visión filosófica se apoyaba en tres ideas centrales: la profunda unidad de esa ciencia, la elección de la teoría de conjuntos como cimiento de todo el edificio y su jerarquización en términos de "estructuras", concepto al cual se le otorgaba un papel central.

El método de exposición elegido fue el axiomático, influencia de la escuela alemana de David Hilbert. En matemáticas, un axioma es una propiedad evidente o postulado básico para el cual no se exige prueba. Una teoría axiomática comienza presentando los objetos sobre los cuales actuará, para luego, a partir de un listado mínimo y no contradictorio de axiomas, ir deduciendo propiedades no tan obvias, llamadas teoremas. En sus Elementos, Euclides desarrolla la geometría así: comienza definiendo ciertos objetos (punto, recta, plano) y estableciendo varios axiomas de los cuales el más famoso es el quinto, equivalente al más conocido postulado de las paralelas: "Por un punto exterior a una recta es posible trazar una única recta paralela a la anterior" que al ser eliminado o modificado conduce a otras geometrías distintas, como las de Lobachevsky o Riemann.

Eso ya implicaba cierto grado de abstracción, pero es probable que para Euclides, punto y recta significaran lo mismo que para cualquier adolescente de hoy. Hilbert va mucho más lejos; para él, punto, recta y plano son términos no definidos con los cuales se trabaja formalmente, como si los axiomas fueran reglas similares a las del ajedrez (en opinión del filósofo de la ciencia Robert Blanché, un sistema axiomático así no tiene interés para quien no haya asimilado antes el conjunto de conocimientos concretos que esa axiomatización pone en orden).

Otro concepto clave en Bourbaki es el de "estructuras", conjuntos formados por elementos de naturaleza distinta pero con ciertas propiedades en común. Esa organización permite una gran economía de esfuerzos: cuando se comprueba que los objetos satisfacen los axiomas de alguna estructura, inmediatamente se sabe que cumplen con un paquete de propiedades derivadas.

Abismo generacional. Para evitar el anquilosamiento, André Weil propuso que quienes cumplieran cincuenta años fueran sustituidos por estudiantes de entre los más talentosos de cada generación. Aunque mantuvieron su influencia, para 1958 todos los miembros originales se habían retirado. Pero surgieron dificultades de otro tipo: los más jóvenes consideraban inadecuados los fundamentos de la obra; la teoría de conjuntos podía conducir a paradojas. Ya había quedado plenamente aceptado el trabajo del lógico Kurt Gödel que en 1931 demostró que no podían existir fundamentos para toda la matemática en el sentido que les daba Hilbert: la forma como Bourbaki había encarado la empresa, la había tornado irrealizable. La introducción de 1960 da cuenta de estas tensiones: "Creemos que la matemática está destinada a sobrevivir y que nunca se verán las partes esenciales de ese majestuoso edificio derrumbarse por el hecho de que se manifieste una soterrada contradicción; pero no pretendemos que esta opinión descanse sobre otra cosa que no sea la experiencia".

Con esas palabras, Bourbaki parecía alejarse del formalismo de Hilbert y reivindicar a los intuicionistas (como Poincaré) que no se preocupaban por esos detalles; una opinión muy diferente a la de 1935. Las discrepancias llevaron al alejamiento del joven Alexandre Grothendieck, la gran promesa de la época y las generaciones siguientes no se sintieron motivadas a seguir. Si bien Bourbaki parece continuar activo, la publicación de nuevos volúmenes de los Éléments se ha ido espaciando con el tiempo (los últimos datan de 1983 y 1998).

Matemática moderna. El aspecto más nocivo de la obra de Bourbaki fue la extrapolación de esa árida propuesta a las escuelas. Fue Dieudonné a nivel individual (y no el colectivo) quien, en el coloquio de Royaumont en 1959, lanzó su famoso "¡Abajo Euclides!" expulsando a la geometría y sus trazados de la educación. Dieudonné sostenía (quizá influenciado por Jean Piaget) que la abstracción permitiría a los estudiantes "concatenar sus pensamientos según el método de los matemáticos, un ejercicio excelente para desarrollar claridad mental y rigor de juicio".

Ese planteo pedagógico, que según Laurent Schwartz sustituía toda la riqueza de las matemáticas "por una plétora de axiomas y definiciones incomprensibles para la gran mayoría de los alumnos", fue llevado a las escuelas con resultados catastróficos como señalaba Morris Kline en El fracaso de la matemática moderna ¿Por qué Juanito no sabe sumar? o como comentaba George Simmons: "Los estudiantes ahora conocen la propiedad conmutativa pero ninguno sabe las tablas de multiplicar". Hoy (en los países que aplicaron el modelo) se ha vuelto a una didáctica más tradicional que valora más la intuición.

Más allá de las controversias, el misterioso Nicolás Bourbaki fue una de las empresas intelectuales más notables del siglo XX. La influencia de Éléments de mathématique como tratado enciclopédico es innegable; todos los textos posteriores han adoptado su rigor y su terminología. Pierre Cartier, ex miembro del grupo, lo resumía así: "Era un momento diferente, con diferentes valores. No me arrepiento. Creo que valía la pena vivir en el siglo XX".

"LA ARQUITECTURA de las matemáticas", manifiesto programático de Bourbaki (1948), no luce muy diferente de otros manifiestos de la época. Allí, de alguna manera se proclama, por su carácter abstracto, el aislamiento de la matemática pura de la sociedad y del resto de las ciencias; las relaciones entre matemática y realidad serían tan sólo una coincidencia que otros campos de la ciencia pueden aprovechar: "Que hay una conexión clara entre fenómenos experimentales y estructuras matemáticas parece confirmarse de una forma inesperada en recientes descubrimientos en física pero no conocemos las razones de ello".

Resulta casi paradójico que en los años sesenta otras disciplinas pudieran resultar influenciadas por su filosofía. Es claro que el OuLiPo, aquel "taller de literatura potencial" iniciado por Raymond Queneau y Francois Le Lionnais, encontró un filón allí. Queneau escribió unos divertidos "Fundamentos de la literatura según David Hilbert". Pensar, clasificar de Georges Perec, es otro claro ejemplo. Pero los oulipianos tampoco se tomaban a sí mismos muy en serio.

Se suele también relacionar a Bourbaki con el estructuralismo, movimiento que caracterizó a gran parte de la escena académica francesa de la época y que, inspirado inicialmente en los trabajos de Saussure y Jakobson en lingüistica, abarcó a intelectuales tan disímiles como Claude Lévi-Strauss, Roland Barthes, Jacques Lacan, Jacques Derrida y Michel Foucault.

Jakobson, Lévi-Strauss y Weil coincidieron en Nueva York en 1943. Las estructuras de parentesco (1949) de Lévi-Strauss, contiene un apéndice donde Weil aporta una solución para un estudio sobre endogamia en poblaciones aborígenes australianas. Lévi-Strauss encontró a esas relaciones tan complejas que pensó que sólo un matemático podría resolverlas. Recurrió a Hadamard, pero éste se negó: "los matemáticos sólo conocemos cuatro operaciones y el matrimonio no está entre ellas". Weil, en cambio, no tenía necesidad de definiciones.

Más sostenido parece haber sido el interés por las matemáticas del psicólogo Jean Piaget, quien procuró en las estructuras matemáticas una explicación factible de los patrones de desarrollo cognitivo del niño. A partir de 1952, Piaget y Dieudonné coincidieron en varias conferencias sobre educación matemática, lo que generó una clara influencia mutua.

Para el historiador de la ciencia David Aubin, el vínculo entre Bourbaki y el estructuralismo no pasó de ser una apropiación ideológica, un simple conector cultural.

Aunque el ocaso simultáneo de todas las ramas del estructuralismo a fines de los sesenta podría insinuar relaciones mucho más profundas, Aubin arriesga otra posibilidad: quizá, para la generación del mayo francés, una ciencia y filosofía estructuradas sobre una base rígida y única hayan sido sinónimo de un nuevo totalitarismo.