Amigos y enemigos del infinito

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Mario Marotti

EN ALGUNOS de los mejores cuentos de Borges ("El Aleph", "El libro de arena"), el protagonista (generalmente el propio Borges) se ve enfrentado a una personificación del mal, no ya en la figura del matrero vil y cobarde o un abyecto monstruo de los abismos, sino en la forma de un concepto abstracto que podría ser catalogado de metafísico: el infinito. La sorpresiva irrupción en la realidad de esa entidad -habitualmente confinada al plano de las ideas y por tanto hipotéticamente inofensiva- es lo que termina otorgando a esos relatos toda su fuerza: la perplejidad ante ese encuentro conlleva a la desesperación del personaje y al progresivo deterioro de su salud mental. El infinito implica allí algo negativo, que infunde temor y de lo cual hay que alejarse de inmediato.

Lo que Borges logra en esas dramatizaciones es exponer al lector a los temores filosóficos de otros hombres y otros tiempos, ya que el inabarcable infinito ha sido siempre un concepto difícil de asir para seres de contextura, inteligencia y existencia finitas. En ese sentido, han sido los matemáticos quienes han tenido la imaginación necesaria para vencerlo a veces, a pesar del largo historial de batallas perdidas. Porque, como lo calificaron Philip Davis y Reuben Hersh, el infinito es un "cántaro milagroso" que seguirá estando lleno aunque le saquen un número finito de objetos; incluso en lo que a paradojas se refiere.

GRECIA, SIGLO V A.C. Fueron los griegos los que intentaron enfrentar al infinito usando el sentido común. Eso que los condujo irremediablemente al desastre. Si bien los pitagóricos cultivaban la matemática desde un punto de vista esotérico y espiritual ("una décima de genio y nueve décimas de aguda mentira", según el historiador Eric Temple Bell), el núcleo central de su filosofía no puede resultar extraño a la luz de la ciencia actual: para ellos, todo lo cognoscible lo era a través del número y sin número no había manera de entender al cosmos. Pero, por "número", los pitagóricos entendían los números naturales o enteros positivos (1,2,3 ...) y tratando de destejer con ellos esa trama, se encontraron con dos sorpresas: la razón entre las medidas de la diagonal y del lado de un cuadrado no puede ser expresada mediante un cociente de tales números, ni tampoco aquella entre la longitud de la circunferencia y su diámetro.

El infinito se había agazapado donde menos lo esperaban. En un lenguaje actual, lo que les pasó no es difícil de entender: tropezaron con dos números irracionales (raíz cuadrada de 2 y pi) cuyas expresiones en el sistema decimal contienen infinitos dígitos, sin ciclo de repetición, y por tanto, sin posibilidad de ser determinados en un número finito de pasos. Ante el horror del hallazgo -que debió ser similar al experimentado por el protagonista de "El Aleph" en el sótano de la casa de Daneri- decidieron ocultar el secreto: los números no podían ser el principio de todas las cosas.

Tras ese revés, los griegos quedaron divididos en dos posiciones irreconciliables: unos se detenían ante la sola posibilidad de ese camino "sin fin"; otros intentarían lo que recién sería logrado dos mil años después. En el primer grupo estaba Zenón de Elea (aprox. 495-435 a.C.) quien, a través de cuatro paradojas, trató de desenmascarar los absurdos en los cuales se podía incurrir. La más famosa de ellas es la referida a una carrera entre el veloz Aquiles y una tortuga. Ante la rapidez del guerrero aqueo, se le ofrece a la tortuga una ventaja de medio trayecto. Aquiles recorre esa distancia pero, al llegar al punto desde donde partió la tortuga, descubre que ésta ya no está; ha avanzado un pequeño trecho. Al llegar a la nueva posición, ésta avanzó nuevamente. Razonando así, la tortuga estará siempre por delante de Aquiles.

Zenón concibió sus paradojas en defensa de la doctrina de su maestro Parménides, para quien el conocimiento empírico del mundo era ilusorio. Zenón ("notable víctima de la falta de juicio de la posteridad", según Bertrand Russell) sabía perfectamente que el corredor más rápido le gana al más lento, pero pretendía denunciar los riesgos que entrañaban los razonamientos de sus adversarios al ser aplicados in extremis. Para el historiador de la matemática David Burton: "Debido a la incapacidad de los geometras griegos para responderle con claridad, se proscribió de las matemáticas el uso de métodos que implicaran el concepto de infinito y se hizo del `horror al infinito´ parte de la tradición". Al igual que para el protagonista de El libro de arena, el infinito se convirtió así en "un objeto de pesadilla, una cosa obscena que infamaba y corrompía la realidad". Para Platón era lo inacabado y carente de forma ("apeiron"), por tanto, opuesto a la perfección divina. Lo relacionaba al desorden, al caos primigenio. Aristóteles buscó la solución distinguiendo dos tipos de infinito: el infinito como un proceso de crecimiento o subdivisión sin final (infinito potencial) y el infinito como una totalidad en tiempo presente (infinito actual).

El otro bando estuvo cerca de encontrarla; siguiendo a Eudoxio, Arquímedes (287-212 a.C.), inscribiendo y circunscribiendo polígonos regulares en una circunferencia y haciendo aumentar el número de lados, logró calcular "pi" con cierta precisión. Por ello, muchos estudiosos (entre ellos, Bell) opinan que los conceptos de infinitesimal e infinito en su forma potencial (lo concerniente a cantidades arbitrariamente pequeñas o grandes) son creaciones del pensamiento helénico. Pero, claramente, les faltó dar el paso final: considerar todos los términos (aunque su número fuera infinito) en lugar de solamente unos cuantos.

CERCA DE DIOS. Depositarios del saber griego durante siglos, los árabes parecen haber privilegiado las técnicas operatorias por sobre las disquisiciones filosóficas (tal vez motivados por su superior sistema de numeración decimal). Para los cristianos, en cambio, el infinito tomó un sentido místico y positivo, sinónimo de un dios eterno y omnipotente; los hombres eran imperfectos debido justamente a su naturaleza limitada. Así estaban las cosas cuando, en el siglo XV, Nicolás de Cusa, retomando viejas ideas, partió al círculo en porciones, como si fuera una torta, para calcular su área.

Galileo Galilei (1564-1642) llegó a comprender que al infinito no se le podían aplicar los mismos razonamientos que a las cantidades finitas, pero ya tenía suficientes problemas como para entrar en una delicada discusión sobre una condición que, por entonces, sólo podía asociarse a la divinidad; a Giordano Bruno no le había ido bien con el asunto. Poco después, el jesuita flamenco Grégoire de Saint-Vincent (1647) y el matemático escocés James Gregory alertaban sobre un viejo error: Zenón no tuvo en cuenta que los tiempos formaban una progresión geométrica de razón 1/2; y por lo tanto, la tortuga será alcanzada por Aquiles en un tiempo finito. Y John Wallis adoptaba la lemniscata (el famoso "ocho acostado", una curva sin fin) como símbolo del infinito.

Para finales del siglo XVII, Isaac Newton (1643-1727) y Gottfried Leibniz (1646-1716) lograron resumir en dos conceptos (la derivada y la integral) la gran variedad de métodos de sus antecesores: había nacido el cálculo infinitesimal. En su célebre frase "Si he llegado a ver más lejos que otros es porque me subí a hombros de gigantes", Newton reconocía el trabajo de esos colegas. El infinito potencial había llegado para quedarse, por más que todavía se operara sin una notación adecuada ni definiciones claras y que el obispo George Berkeley se quejara al respecto:"¿Cómo puede esta matemática ser legítima cuando por un lado, uno realiza cálculos como si la expresión fuera un número real y después simplemente la elimina cuando se hace necesario?". Fue recién en el siglo XIX que la matemática de lo infinitamente grande o pequeño (dos formas del infinito) alcanzó el rigor necesario (de la mano de Gauss, Bolzano, Cauchy y Weiestrass) con la introducción del concepto de "límite": la posibilidad de aproximarse a un número sin llegar nunca.

Cantor "el loco". Nacido en San Petersburgo pero trabajando siempre en Alemania, Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (1845-1918) fue quien demostró que no había un único infinito sino muchos (los llamó "números transfinitos") y que podían ser jerarquizados. Al "más pequeño" (el infinito de los números naturales) lo llamó "aleph-cero", pero más allá había otros: "aleph-uno", "aleph-dos", etc. Frente a tales elucubraciones, sus contemporáneos quedaron divididos. Su profesor, Leopold Kronecker, trató de evitar a toda costa que esas ideas se divulgaran; creía que su alumno estaba loco. Muy distinta era la opinión de David Hilbert (1862-1943), el más afamado matemático del país: "Del paraíso creado para nosotros por Cantor nadie nos expulsará".

Para encarar el problema, Cantor utilizó una sencilla idea: si un conjunto está formado por una vaca, un conejo y un ratón, y otro por una zanahoria, un trozo de queso, y un fardo de alfalfa, es posible generar una correspondencia "uno a uno" entre los elementos de uno y otro (los matemáticos llaman a eso una "biyección"). Se dice entonces que ambos conjuntos tienen el mismo "cardinal" (la misma cantidad de elementos; éstos fueron "contados" sin nombrar para nada al número "tres").

Hilbert encontró una imagen divertida de cómo se aplica esa estrategia a conjuntos infinitos. El "Hotel de Hilbert" posee un número infinito de habitaciones. Una noche de tormenta están todas ocupadas pero llega un viajero más. El recepcionista -quizá de nombre Georg- se apiada del peregrino; hace levantar a "todos" los huéspedes y les pide que se trasladen una pieza: al huésped del cuarto 1 le pide que pase al 2, al del 2 que pase al 3, etc. Todos quedan alojados y se ha podido liberar la habitación número 1, algo aparentemente paradójico. Otra noche llega al hotel un número infinito de pasajeros. ¿Es posible una solución? Sí; se le pide a cada pasajero que se cambie a la habitación cuyo número sea el doble de la que tenía. El huésped de la 1 pasa a la 2, el de la 2 a la 4, etc. Las habitaciones impares quedan vacías. Esto demuestra que una parte del conjunto es tan numerosa como la totalidad (tienen el mismo cardinal, "aleph-cero") y que el viejo principio de Euclides ("El todo es mayor que cualquiera de sus partes") debe ser abandonado. De hecho, hoy se considera infinito a todo objeto que violente ese principio.

Pero existe otro conocido conjunto infinito; es el conjunto de los puntos de un segmento de recta. ¿Qué pasaría si una noche llegaran al hotel todos esos puntos transmutados en viajeros? La respuesta vuelve a sorprender: no cabrían de ninguna manera. El sentido común queda nuevamente por el camino. Al "cardinal" de ese conjunto se lo llamó "c", por la palabra "continuum". Y se llega a otra admirable cuestión ("problema del continuo"): ¿es el cardinal "c" igual a "aleph-uno" o existen otros transfinitos entre "aleph-cero" y "c"? La respuesta es que no puede saberse; no en base a los postulados actuales de la teoría; puede afirmarse (Kurt Gödel, 1940) o negarse (Paul Cohen, 1963) sin más. Esos planteos dieron lugar a nuevas paradojas, como la de Russell, descubierta por el filósofo galés en 1903 (ver El País Cultural N° 1074). Como tantas otras veces, los matemáticos sintieron que el edificio de su propia construcción se les venía encima.

Discusión. Es muy probable que Cantor decidiera nombrar a sus transfinitos con la primera letra del alfabeto hebreo, el Aleph, por un motivo trivial: necesitaba un símbolo distinto a todos los ya usados. La leyenda cuenta que intentó crear un paralelismo entre el mandamiento hebreo de no nombrar a Dios y la tradición de evitar al infinito entre los antiguos matemáticos. Es dudoso; a pesar de provenir de una familia judía, Cantor no profesaba esa religión. Pero las implicancias teológicas de sus descubrimientos lo inquietaban. Sumadas a la tensa relación con sus colegas y a la imposibilidad de resolver el problema del continuo, fueron minando su salud y lo llevaron al desequilibrio emocional. Terminó sus días recluido en una institución psiquiátrica. Borges -si no lo supo- se hubiera conmovido de ese desenlace: el hombre que logró entrar al laberinto de los infinitos y vislumbrar su arquitectura interior, no pudo volver para contarlo.

La mayoría de los críticos coincide en señalar que el escritor llegó a estos temas atraído por la riqueza estética de las formulaciones. "El Aleph" se publicó por primera vez en la revista Sur en 1945. Pero ya en Discusión (1932) había dedicado un ensayo a Zenón y sus paradojas. Y en julio de 1938 había reseñado para la revista El Hogar el libro Men of Mathematics de E. T. Bell en estos términos: "es una historia de los matemáticos europeos desde Zenón de Elea hasta Georg Ludwig Cantor de Halle. No sin misterio se unen esos nombres: veintitrés siglos los separan, pero una misma perplejidad les dio fatiga y gloria a los dos, y no es aventurado sugerir que los extraños números transfinitos del alemán fueron ideados de algún modo para resolver los enigmas del griego". (Nota: Halle es la ciudad donde residía Cantor; nombrarla junto a Elea crea una sutil broma.)

Cuando en 1985 Borges realizó una selección de sus lecturas predilectas para la colección "Biblioteca Personal", entre las elegidas aparecía un libro de divulgación que trata el tema: Matemáticas e Imaginación, de Edward Kasner y James Newman. Si bien existe una edición en español de 1944 -de la librería Hachette de Buenos Aires-, y ésa es la traducción que la colección recoge, Borges ya había reseñado el libro en 1940 para Sur. Por tanto, debió leerlo en la edición en inglés de ese año, que tenía un estilizado "aleph-cero" de color amarillo grabado sobre su cubierta de tela roja.

Otra faceta de Cantor que hubiera fascinado a Borges -si es que no la conoció- es su intervención en un famoso debate literario sobre la posibilidad de que Shakespeare fuera sólo un seudónimo de Francis Bacon (alternativa que el argentino negaba), y que entre los interlocutores epistolares de Cantor en estos temas estuviera Kurd Lasswitz, autor del cuento "La Biblioteca Universal", la declarada inspiración de Borges para escribir "La Biblioteca de Babel". Y viceversa: de haber vivido lo suficiente para conocerlos, los cuentos de Borges no hubieran dejado indiferente (sea por deleite o por inquietud) a Georg Cantor, "Cantor, el loco", el hombre que, según Kronecker, no sabía de lo que estaba hablando.