Nacido en 1849 en el hogar de Norberto Acevedo y Fátima Díaz, hija del general Antonio Díaz, se inició como periodista a los 18 años en el popular diario "El Ferrocarril" en 1867 permaneciendo en su redacción hasta 1870. Luego escribió para "La República" en el 73; para "La Democracia" y en "La Patria" en el 74; en "La Epoca" en el 84; en "La Idea" en el 85 y en "El Nacional" donde su actuación fue más que saliente.
El 12 de octubre de 1870 se incorporó al ejército revolucionario de Timoteo Aparicio, siendo reconocido como Sargento. Actuando de amanuense del auditor de guerra coronel Antonio Rodríguez, se encontró en el recio combate de la Unión, siendo herido de gravedad.
Ascendido a Subteniente se le ordenó retirarse para ser asistido, pero sin restablecerse del todo, se reincorporó el 15 de febrero de 1871 a la vanguardia del ejército mandada por el general Angel Muniz. Se le dio de alta con el grado de Teniente 2º, con destino al escuadrón "Guardias de Olid" a las órdenes, primero, del coronel Rafael López Formoso y del mayor Miguel Yarza, participando de la acción del Arrayán.
El 29 de junio pasó a prestar servicios, con el grado de Teniente 1º, al plantel de infantería "General Leandro Gómez" comandado por el coronel Manuel Gómez y el mayor Antonio Ma. Fernández, marchando al norte del Río Negro, tomando parte en el combate del arroyo del Sauce. Su actuación puso de relieve condiciones de oficial aguerrido por lo cual mereció se le distinguiera con los despachos de Ayudante Mayor, siendo incluido en el cuadro de veteranos de los capitanes de línea.
Luego del Sauce, el coronel Juan M. Puentes, bajo cuyas órdenes había combatido Acevedo Díaz, se incorporó a la columna de Timoteo Aparicio, llevando entre sus oficiales más destacados al capitán Norberto Acevedo Díaz quien recibió la efectividad de su grado el 19 de diciembre de 1871.
Firmada la paz de abril del 72, Acevedo regresó a Montevideo. Pero ya interviene nuevamente en el 75 a órdenes del coronel Pampillón. En el 76 fue designado Oficial 2º de la Jefatura Política de San José y al año siguiente, Receptor de Rentas Policiales, actuando hasta 1880 —siendo ascendido a Oficial 1º— cargo al que renunció el año siguiente.
La jornada del Quebracho contó con su apoyo al incorporarse a la columna del coronel Nicasio Galeano, para luego de la derrota de Palmares de Soto, seguir con el general Arredondo hasta internarse en el Brasil.
Vuelto al país, integró la Seccional 7a. de Montevideo y en el 87 se retiró a la Argentina donde permaneció por casi diez años.
Cuando Chiquito Saravia llegó a Buenos Aires, a ponerse en contacto con el Comité de Guerra, Acevedo Díaz se le presentó y en calidad de secretario del mismo, le acompañó a las provincias de Entre Ríos y Corrientes y luego a Río Grande, desde donde invadió con él el 5 de marzo de 1897. Formando parte del Escuadrón Nº 7 al mando del comandante Antonio Mena, combatió en Arbolito, donde se salvó de la muerte gracias al casi milagroso auxilio que le prestó el valeroso capitán Arturo Salom.
Consagrado más tarde Sargento Mayor, se encuentra en la acción de Cerros Colorados a órdenes del comandante Abel Sierra, Jefe de la Escolta del General Aparicio Saravia. Incorporado al Ejército su hermano, el famoso Eduardo Acevedo Díaz en calidad de Secretario General, Norberto pasó a prestar servicios en dicha Secretaría. Tomó parte activa en la batalla de Cerros Blancos, durante la cual trasmitió órdenes del coronel Diego Lamas a los jefes divisionarios y luego, participó en Hervidero y en Aceguá. Por último, enrolado en la División Nº 4, actuó en Tarariras, Sierras del Carmen y Sitio de Minas.
Firmada la paz y efectuado el desarme en La Cruz, don Norberto Acevedo Díaz pasó a residir en Montevideo volviendo al periodismo. En la capital, falleció el 9 de febrero de 1903.